FOClass: 債券殖利率曲線計算

在前篇文章中，我們已可算出零息債券的殖利率，但如果要套用在實務上的應用中，我們必須將觀察到的各點作一迴歸函式，讓我們可以找到各天期的殖利率。

運用原理為 Cubic Spline 方法。假設債券的 Discount 因子為一個三次方程式：



而每張債券的現金流量再套入下方方程式：



可得到類似 3.3a + 1.2b + 5.5c = 30 的等式。像是代入前篇文章的九張債券可得如下式子：





透過 OLS(ordinary least square) 方法求出 a, b, c 的適當值後，再代入：



即可算出殖利率曲線。如下圖：

• 綠色線為零息債券殖利率曲線
• 紅色線為附息債券殖利率曲線

我們可以看到 20~30年期的殖利率下降的十分奇怪。原因是我們的觀察值債券的年期最大只有 20 年，所以這一條函式在預測 20~30 年期的數據應該是有問題。

相關的 Python 程式如下：

 1 class CubicSpline:
 2     """ 使用最小平方和原則作三次方方程式的迴歸
 3     """
 4     def __init__(self):
 5         self.PVs = array([])
 6         self.X = array([])
 7 
 8     def addBondData(self, PV=0, Ci=[], Ni=[]):
 9         self.PV = PV < 0 and PV or -1*PV
10         if Ni[0] == 0:
11             self.PVs = append(self.PVs, -1*self.PV-Ci[0])
12             self.Ci = array(Ci[1:])
13             self.Ni = array([[1, t, t**2, t**3] for t in Ni[1:]])
14         else:
15             self.PVs = append(self.PVs, -1*self.PV)
16             self.Ci = array(Ci)
17             self.Ni = array([[1, t, t**2, t**3] for t in Ni])
18 
19         self.dt = dot(self.Ci, self.Ni)
20         if len(self.X):
21             self.X = append(self.X, [self.dt[1:]], axis=0)
22         else:
23             self.X = array([self.dt[1:]])
24 
25         self.PVs[-1] -= self.dt[0]
26 
27     def runOLS(self):
28         self.X = matrix(self.X)
29         self.PVs = matrix(self.PVs).T
30         self.b = linalg.inv(self.X.T * self.X) * self.X.T * self.PVs
31         return self.b